第二百五十七章 见证奇迹吧！（上）（第4/5页）

所以只要对对f(x，t)求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a。

因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以只能对时间的偏导af/at，再求一次偏导数就加个2上去。

因此很快。

包括法拉第在内，所有大佬们都先后写下了一个数值：

加速度a=a^2f/at^2。

而将这个数值与之前的合力与质量相结合，那么一个新的表达式便出现了：

F=T·sin（θ＋Δθ）－T·sinθ=μ·Δxa^2f/at^2。

随后威廉·韦伯认真看了眼这个表达式，眉头微微皱了些许：

“罗峰同学，这就是最终的表达式吗？我似乎感觉好像还能化简？”

徐云点了点头：

“当然可以。”

F=T·sin（θ＋Δθ）－T·sinθ=μ·Δxaa^2f/at^2。

这是一个最原始的方程组，内容不太清晰，方程左边的东西看着太麻烦了。

因此还需要对它进行一番改造。

至于改造的思路在哪儿呢？

当然是sinθ了。

只见徐云拿起笔，在纸上画了个直角三角形。

众所周知。

正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。

徐云又画了个夹角很小的直角三角形，角度估摸着只有几度：

“但是一旦角度θ非常非常小，那么邻边b和斜边a就快要重合了。”

“这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b。”

随后在纸上写到：

【于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。】

【之前的公式可写成F=T·tan（θ＋Δθ）－T·tanθ=μ·Δxaa^2f/at^2。】

“稍等一下。”

看到这句话，法拉第忽然皱起了眉头，打断了徐云。

很明显。

此时他已经隐隐出现了掉队的迹象：

“罗峰同学，用tanθ替代sinθ的意义是什么？”

徐云又看了小麦，小麦当即心领神会：

“法拉第先生，因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀，也就是代表曲线在某一点的导数。”

“正切值的表达式是tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx。”

“它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。”

法拉第认真听完，花了两分钟在纸上演算了一番，旋即恍然的一拍额头：

“原来如此，我明白了，请继续吧，罗峰同学。”

徐云点点头，继续解释道：

“因为波的函数f(x，t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数。”

“那么正切值就等于它在这个点的偏导数tanθ=af/ax，原来的波动方程就可以写成这样……”

随后徐云在纸上写下了一个新方程：

T（af/axlx＋△x－af/axlx）=μ·Δxaa^2f/at^2。

看起来比之前的要复杂一些，但现场的这些大佬的目光，却齐齐明亮了不少。

到了这一步，接下来的思路就很清晰了。

只要再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数af/ax在x＋Δx和x这两处的值的差除以Δx。

这其实就是af/ax这个函数的导数表达式。

也就是说。

两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数af/ax对x再求一次导数，那就是f(x，t)对x求二阶偏导数了。

同时上面已经用a^2f/at^2来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用a^2f/ax^2来表示函数对x的二阶偏导数。

然后两边再同时除以T，得到方程就简洁多了：

a^2f/ax=μa^2f/Tax^2。

同时如果你脑子还没晕的话便会发现……

μ/T的单位……

刚好就是速度平方的倒数！

也就是说如果我们把一个量定义成T/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。

可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：

v^2=T/μ。

因此将这个值代入之后，一个最终的公式便出现了：

a^2f/ax=a^2f/v^2ax^2。

这个公式在后世又叫做……

经典波动方程。

当然了。

这个方程没有没有考虑量子效应。

如果要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。

没错，靠猜的。

具体内容就先不赘述了，总之这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。

如今徐云不需要考虑量子方面的事儿，因此有经典波动方程就足够了。

接着他又在纸上写下了一道新的公式。