第四百四十四章 素数无限的证法

关于“素数有无穷多个”的证明方法，目前最被认可的是数学家欧里几得在《几何原本》第9卷的第20个命题列出的证明过程。

因此，这一命题也因此被称为了“欧几里德定理”。

欧里几得的证法很简单，也很平凡，因此得以进入初等数学的课堂。

他首先是假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。

然后设q为所有素数之积加上1，那么，q=（2×3×5×…×p）+1不是素数，那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。

而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。所以，素数是无限的。

这个古老而又简便的证明法，即便时隔两千多年，都无法否认它的强大。

……

“我觉得既然是比数量的话，那我们最好就在欧里几得的证明法的基础上进行变种，这样浪费的时间估计会少一点。”

“嗯，我也这么觉得，毕竟我们只有半个小时的时间，我们三个至少每个人要想出来一个变种才有获胜的希望。”

“不不不，三个绝对不够，其他学校也不都是一些无能之辈，我觉得要争前三的话，起码五个更稳妥！我们最多用二十分钟的时间各自想出一个变种，然后我们三人最后十分钟再合力看看还有没有什么其他的思路。”

“好吧，那就这样。”

两位队友在激烈的讨论着。在达成了一致意见后，便齐齐扭头看向程诺。

“程诺，你没问题吧？”虽然时间紧迫，但两人还是想问一下程诺的意见。

“呃……有一句话，我不知道当讲不当讲。”程诺挠挠头道。

两人一愣，回道，“但说无妨。”

“我们为什么非要琢磨欧里几得证明法的变种，而不去寻找新的方向进行证明呢？”程诺问道。

程诺的话把两人问的哑口无言。

他们又何尝不想去寻找另一个证明素数无穷命题的新方向。

但这是在比赛，不是在搞研究。

而衡量的标准是数量，也并非是质量。

在欧里几得证明法的基础上进行变种，就像于是站立在巨人的肩膀上，无论是研究难度，还是研究时间，都会大大缩减。

而寻找另一种证明方向，说起来简单，但那可是一个从无到有的过程，艰辛无比。并且失败的可能性极高。

两人没有那勇气，也没有那信心尝试去做那个开拓者。

队友苦笑，“不是我们不想，而实在是我们没有那底气说有那实力去做。就算我们三人合力，半小时的时间也未必能找到一个新的方向去证明素数无穷命题。”

程诺耸耸肩，笑道，“不啊，我现在脑子里就有许多新想法。”

两人默默对视一眼，皆是怀疑程诺话语的真实性。

一人狐疑的问道，“程诺同学，那能不能随便给我们举几个栗子？”

程诺往篝火中心挪了挪，换了个舒服的坐姿，慢悠悠的开口，“当然没问题。”

程诺竖起了一根手指，“第一个，利用互素序列进行证明。”

两人也很好奇程诺究竟会说些什么，竖起耳朵倾听。

“你们想一下，假如能找到一个无穷序列，其中任意两项都是互素的，即所谓互素序列，那就等于证明了素数有无穷多个——因为每一项的素因子都彼此不同，项数无穷，素因子的个数、从而素数的个数，自然也就无穷。”

“那什么样的序列既是无穷序列又是互素序列？”一人忍不住问道。

程诺打了响指，笑呵呵的开口说道，“其实这个序列你们应该都听说过，数学家哥德巴赫在给数学家欧拉的一封信中，提到了一个完全由费马数：Fn=2^2^n+1（n=0，1，...）组成的序列这个概念，通过Fn-2=F0F1···Fn-1这个公式，可以证明费马数之间是彼此互素的。”

“以上，利用费马数组成的序列，就可以轻松得到素数无限的一个证明法。”程诺语气停顿了一下，开口说道，“下面我说第二个。”

“等一下！”一位队友大声叫停了程诺，急忙从背后的书包里拿出一摞草稿纸，将程诺提出的第一个证明法记下以后，才不好意思的对程诺说道，“你继续吧。”

他这么大声，自然引起了旁边许多学校的注意。

于是当众人看到剑桥大学这边两位天资横溢的博士生，此时却宛若小学生一般，仰着头期待着那边程诺讲话，皆是一脸的疑惑之色。

但时间紧迫，众人的视线只是在剑桥大学的队伍上停留了几秒时间，便匆匆接着自己的埋头苦算。

“呃，那我接着说。”程诺接着说道，“我第二个想出的办法是利用素数的分布进行求证。”

“法国数学家阿达马和比利时数学家瓦莱-普森于1896年证明的素数定理中指出，N以内的素数个数π（N）的渐近分布为π（N）~N/ln（N），N/ln（N）随N趋于无穷……”