第三百五十章 搞定毕业论文

另一边，华国。

经过一夜的思考，困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。

关于两个引理的运用，程诺有他自己独到的见解。

所以，这天白天的课一结束，程诺便匆匆赶到图书馆，随便挑了一个没人的位置，拿出纸笔，验证自己的想法。

既然将两个引理强加进Bertrand假设的证明过程中这个方向行不通，那程诺想的是，能否根据这两个引理，得出几个推论，然后再应用到Bertrand假设中。

这样的话，虽然拐了个弯，看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前，谁也不敢百分百就这样说。

程诺觉得还是应该尝试一下。

工具早已备好，他沉吟了一阵，开始在草稿纸上做各种尝试。

他有不是上帝，并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用，哪个没用。最稳妥的方法，就是一一尝试。

反正时间足够，程诺并不着急。

唰唰唰~~

低着头，他列下一行行算式。

【设m为满足pm≤2n的最大自然数，则显然对于i>m，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止于i=m，共计m项。由于floor（2x）-2floor（x）≤1，因此这m项中的每一项不是0就是1……】

由上，得推论1：【设n为一自然数，p为一素数，则能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高幂次为：s=Σi≥1[floor（2n/pi）-2floor（n/pi）]。】

【因为n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n，求和只有i=1一项，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由于2n/3<p≤n还表明1≤n/p<3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】

由此，得推论2：【设n≥3为一自然数，p为一素数，s为能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高幂次，则：（a）ps≤2n；（b）若p>√2n，则s≤1；（c）若2n/3<p≤n，则s=0。】

一行行，一列列。

除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。

等到晚上十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的离开。

而在他手中拿着的草稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。

这是他劳动一天的成果。

明天程诺的工作，就是从这十几个推论中，寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。

……

一夜无话。

翌日，又是阳光明媚，春暖花开的一天。

日期是三月初，方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。

程诺又足够的时间去浪……哦，不，是去完善他的毕业论文。

论文的进度按照程诺规划的方案进行，这一天，他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。

结束了这忙碌的一天，第二天，程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。

这可不是个轻松的工作。

程诺没有多大把握能一天的时间搞定。

可一句古话说的好，一鼓作气，再而衰，三而竭。如今势头正足，最好一天拿下。

这个时候，程诺不得不再次准备开启修仙大法。

而修仙神器，“肾宝”，程诺也早已准备完毕。

肝吧，少年！

程诺右手碳素笔，左手肾宝，开始攻克最后一道难关。

切尔雪夫在证明Bertrand假设时，采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导，丝毫没有任何技巧性可言。

程诺当然不能这么做。

对于Bertrand假设，他准备使用反证法。

这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法，面对许多猜想时非常重要。

尤其是……在证明某个猜想不成立时！

但程诺现在当时不是要寻找反例，证明Bertrand假设不成立。

切尔雪夫已然证明这一假设的成立，使用反证法，无非是将证明步骤进行简化。

程诺自信满满。

第一步，用反证法，假设命题不成立，即存在某个n≥2，在n与2n之间没有素数。

第二步，将（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Πps（p）（s（p）为质因子p的幂次。

第三步，由推论5知p<2n，由反证法假设知p≤n，再由推论3知p≤2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。

……

第七步，利用推论8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n<p≤2n/3 p≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！

思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。

连程诺本人，都惊讶了好一阵。

原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！

程诺叉腰得意一会儿。

随后，便是低头继续苦逼的列着证明公式。

第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目，即不多于√2n/2-1（因偶数及1不是素数）……由此得到：（2n）！/（n！n！）<（2n）√2n/2-1·42n/3。